矩阵方程组两个代表性例题（REF 与 RREF）

目标：用三道最典型的题，把你“增广矩阵→行变换→REF/RREF→判解→读解/回代”的流程一次打通。

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例 1（典型 1）：唯一解（REF 回代即可，也可到 RREF）

题目

解线性方程组

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=3\end{array}$$

写成增广矩阵：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 2& -1& 1& 3\\ 1& 2& -1& 3\end{array}\right]$$

Step 1：高斯消元（做 REF）

用 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$，$R_3\leftarrow R_3-R_1$：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& -3& -1& -9\\ 0& 1& -2& -3\end{array}\right]$$

交换 $R_2\leftrightarrow R_3$：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 1& -2& -3\\ 0& -3& -1& -9\end{array}\right]$$

消去 $R_3$ 的第二列：$R_3\leftarrow R_3+3R_2$：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 1& -2& -3\\ 0& 0& -7& -18\end{array}\right]$$

这已经是 行阶梯形（REF）。

Step 2：回代求解

第三行：$-7z=-18\Rightarrow z=\frac{18}{7}$

第二行：$y-2z=-3\Rightarrow y=-3+2\cdot \frac{18}{7}=\frac{15}{7}$

第一行：$x+y+z=6\Rightarrow x=6-\frac{15}{7}-\frac{18}{7}=\frac{9}{7}$

答案

$$(x,y,z)=\left(\frac{9}{7},\frac{15}{7},\frac{18}{7}\right)$$

这一题的“代表性”在哪里？

• 3×3 满秩，主元 3 个 → 唯一解。
• 到 REF 就足够，回代很自然。

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例 2（典型 2）：无穷多解（RREF 直接读通解）

题目

解线性方程组

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ 2x+2y+2z=2\\ x-y+z=3\end{array}$$

增广矩阵：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 2\\ 1& -1& 1& 3\end{array}\right]$$

Step 1：先消元到 REF，并顺便判解的情况

$R_2\leftarrow R_2-2R_1$，$R_3\leftarrow R_3-R_1$：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& -2& 0& 2\end{array}\right]$$

交换 $R_2\leftrightarrow R_3$：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& -2& 0& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

观察：没有出现 $[000\mid c]$（$c\ne 0$），所以 有解。同时有一行全 0，说明秩 $<3$，将出现自由变量 → 无穷多解。

Step 2：继续化到 RREF（为了直接读通解）

把第二行主元化成 1：$R_2\leftarrow (-1/2)R_2$：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

消去第一行的第二列：$R_1\leftarrow R_1-R_2$：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 2\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

这就是 行最简形（RREF）。

Step 3：直接读解并写成通解

由 RREF 对应方程：

$$\{\begin{array}{l}x+z=2\\ y=-1\end{array}$$

这里第 3 列（$z$）不是主元列，所以 $z$ 是自由变量。令 $z=t$，则

$$\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=-1\\ z=t\end{array}$$

向量形式（考研最稳写法之一）：

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$

这一题的“代表性”在哪里？

• 第二个方程是第一个的 2 倍 → 方程冗余 → 出现零行 → 有自由变量。
• 用 RREF 最舒服：不回代，直接读通解。

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例 3（典型 3）：无解（出现矛盾行，一步判死）

题目

解（或判定）线性方程组

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ 2x+2y+2z=3\\ x-y+z=0\end{array}$$

增广矩阵：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 3\\ 1& -1& 1& 0\end{array}\right]$$

Step 1：做行变换（只要到 REF 就够了）

先消去第二行：$R_2\leftarrow R_2-2R_1$：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& -1& 1& 0\end{array}\right]$$

Step 2：一眼判无解（矛盾行）

第二行对应方程：

$$0x+0y+0z=1$$

这不可能成立，因此方程组 无解。

这就是增广矩阵出现 $[000\mid c]$（$c\ne 0$）的典型信号。

这一题的“代表性”在哪里？

• 前两行左边成比例，但右端不成比例 → 必然矛盾。
• 考研非常爱考“快速判定无解”，不需要把矩阵化到最简。

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例 4（加练）：给定增广矩阵，判断并求解（唯一解）

题目

给定增广矩阵

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 2& 1\\ 5& 2& 5& 2\end{array}\right]$$

对应方程组：

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ y+2z=1\\ 5x+2y+5z=2\end{array}$$

Step 1：消元到 REF

用第一行消去第三行的 $x$：$R_3\leftarrow R_3-5R_1$

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 2& 1\\ 0& -3& 0& -3\end{array}\right]$$

再用第二行消去第三行的 $y$：$R_3\leftarrow R_3+3R_2$

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 2& 1\\ 0& 0& 6& 0\end{array}\right]$$

Step 2：继续化到行最简形（RREF）

从

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 2& 1\\ 0& 0& 6& 0\end{array}\right]$$

开始：

1. 先把第三行主元变成 1：$R_3\leftarrow \frac{1}{6}{R}_3$

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 2& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

2. 用第三行消去第二行的 $z$：$R_2\leftarrow R_2-2R_3$

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

3. 用第三行消去第一行的 $z$：$R_1\leftarrow R_1-R_3$

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

4. 用第二行消去第一行的 $y$：$R_1\leftarrow R_1-R_2$

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

这就是行最简形（RREF）。

Step 3：由 RREF 读解

由 RREF 可直接读出：$x=0,y=1,z=0$。

答案

$$(x,y,z)=(0,1,0)$$

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总结：什么时候回代？什么时候直接读？什么时候立刻停？

• 做到 REF：常常需要回代（除非出现矛盾行直接判无解）。
• 做到 RREF：一般直接读解（尤其是通解）。
• 出现矛盾行 $[0\cdots 0\mid c]$（$c\ne 0$）：立刻停止，结论无解。

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